Matemáticas

El curso está dirigido a alumnos que tuvieron muy poco o ningún curso de Matemática en sus carreras de grado. Los objetivos generales de este curso son: que los alumnos apliquen los resultados del Álgebra, Geometría y Cálculo Diferencial e Integral a la descripción y solución de problemas y que puedan transferir herramientas metodológicas propias de la Matemática para la descripción, modelización y resolución de problemas de otras disciplinas científicas y tecnológicas.

Modalidades de evaluación

Durante el curso se realiza una evaluación continua consistente en la discusión y resolución de problemas en forma grupal. Al finalizar el curso cada alumno debe resolver y entregar un trabajo final con problemas referidos a las unidades desarrolladas durante el curso. La aprobación del curso se obtiene superando con éxito tanto la evaluación continua como la evaluación del trabajo final.

Debido a la poca formación en matemática de los cursantes, se incluye una primera unidad de introducción a temas geométricos y algebraicos elementales.

Los demás contenidos del programa se presentan como herramientas para describir y resolver problemas sin pretender un dominio del aspecto formal de los mismos.

Contenidos

Introducción: Polinomios. Operaciones con polinomios. Regla de Ruffini. Teorema del resto. Factorización de expresiones algebraicas. Conjuntos en la recta y plano coordenado. Rectas en el plano. Ecuaciones lineales. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Problemas. Ecuaciones de segundo grado. Logaritmos. Teorema de Pitágoras. Triángulos rectángulos.

Unidad 1: Sistema de coordenadas en el plano y en el espacio. Coordenadas de un punto. Distancia entre dos puntos. Punto medio de un segmento. Ecuaciones de ejes y planos coordenados. Lugares geométricos. Ecuaciones en dos variables. Ecuación lineal: la recta. Ecuación de la circunferencia. Gráfica – Resolución de ecuaciones por factorización, bicuadradas y fraccionarias. Desigualdades

Unidad 2: Matrices. Definición y operaciones con matrices. Propiedades. Determinante de una matriz cuadrada. Desarrollo por filas y columnas. Regla de Sarrus. Propiedades. Matriz invertible. Cálculo de la inversa.

Unidad 3: Sistemas de ecuaciones lineales. Notación matricial. Rango de una matriz. Existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales: teorema de Rouché-Frobenius.

Métodos de resolución. Reducción del número de ecuaciones por sustitución. Regla de Cramer. Método de eliminación de Gauss – Jordan. Método de la matriz inversa. Interpretación de las soluciones. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones mixtos. Problemas de aplicación.

Unidad 4: Vectores en el plano y en el espacio. Definición y descripción geométrica. Operaciones: suma y producto por un escalar. Componentes. Componentes de las operaciones. Vector unitario.

Producto escalar, propiedades. Angulo entre dos vectores. Ortogonalidad. Producto vectorial, propiedades. Componentes del vector producto vectorial.

Unidad 5: Función real de una variable real: definición, dominio, rango, gráfica. Operaciones con funciones. Funciones trigonométricas. Definiciones básicas. Gráficas de las funciones seno, coseno y tangente y sus derivadas.

Definición de límite de una función en un punto (no formal). Interpretación gráfica. Propiedades. Cálculo. Límites laterales. Límite infinito y caso de variable tendiendo a infinito. Continuidad en un punto. Definición. Propiedades. Funciones continuas en un intervalo. Clasificación de discontinuidades.

Unidad 6: Derivadas: Definiciones básicas. Cociente de Newton. Pendiente de la recta tangente a una curva en un punto, interpretación geométrica y como razón de cambio. Función derivada. Propiedades de las derivadas. Derivadas de funciones elementales. Funciones compuestas. Derivada de la función compuesta. Derivadas de orden superior.

Unidad 7: Punto crítico. Punto máximo y mínimo absoluto. Máximo y mínimo relativo.Funciones crecientes y decrecientes. Concavidad. Punto de inflexión. Criterio de la derivada segunda.Análisis de la gráfica de una función.

Unidad 8: Función inversa. Definición. Gráfica de una función y de su inversa. Derivadas de funciones inversas. Función exponencial. Definición. Propiedades. Derivadas. Función logaritmo. Definición. Propiedades. Derivadas. Función exponencial general. Definición. Propiedades. Derivadas.

Unidad 9: La integral indefinida. El problema inverso de la derivación. Concepto de primitiva. Propiedades. Métodos de integración por sustitución y por partes.

Unidad 10: La integral definida. Sumas superiores e inferiores. Definición de integral. Propiedades. Teorema del valor medio del cálculo integral. Función integral. Teorema Fundamental del Cálculo Integral. Regla de Barrow.

Aplicaciones: Cálculo de área entre dos curvas. Volumen de un sólido de revolución. Integrales impropias. Definición, propiedades y cálculo.

Unidad 11: Nociones sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Definición. Clasificación. Solución. Problema de valor inicial. Variables separables. Definición. Método de resolución. Ecuación homogénea. Definición. Método de resolución. Ecuación diferencial lineal de primer orden. Solución.

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Bibliografia:

Swokowski – “Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica” – International Thomson Editores.

Leithold, L. – “Cálculo con Geometría Análitica” – Harla

Grossman, Stanley – Algebra Lineal – Mc Graw Hill

Zill, Dennis – Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado

Lipschutz, Seymour – Álgebra Lineal. Teoría y 600 problemas resueltos – Mc Graw- Hill

James Stewart – Cálculo. Conceptos y contextos. – International Thomson Editores

Serge Lang – Cálculo. – Addison Wesley Iberoamericana